By Otto Forster

Dieses seit über 30 Jahren bewährte Standardwerk ist gedacht als Begleittext zur Analysis-Vorlesung des ersten Semesters für Mathematiker, Physiker und Informatiker. Bei der Darstellung wurde besonderer Wert darauf gelegt, in systematischer Weise, aber ohne zu große Abstraktionen zu den wesentlichen Inhalten vorzudringen und sie mit vielen konkreten Beispielen zu illustrieren. An verschiedenen Stellen wurden Bezüge zur Informatik hergestellt. Einige numerische Beispiele wurden durch Programm-Codes ergänzt, so dass die Rechnungen direkt am computing device nachvollzogen werden können. Die vorliegende eleven. Auflage wurde um einige Aufgaben und Beispiele erweitert.

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Satz 4 (Quotient konvergenter Folgen). Seien (an )n∈N und (bn )n∈N zwei konvergente Folgen reeller Zahlen mit lim b n =: b = 0. Dann gibt es ein n0 ∈ N, so dass bn = 0 f¨ur alle n n0 und die Quotientenfolge (a n /bn )n n0 konvergiert. F¨ur ihren Grenzwert gilt an lim an = . lim n→∞ bn lim bn Beweis. Wir behandeln zun¨achst den Spezialfall, dass (an ) die konstante Folge an = 1 ist. Da b = 0, ist |b|/2 > 0, es gibt also ein n 0 ∈ N mit |bn − b| < |b| 2 f¨ur alle n n0 . Daraus folgt |bn | |b|/2, insbesondere bn = 0 f¨ur n ε > 0 gibt es ein N1 ∈ N, so dass |bn − b| < ε|b|2 2 f¨ur alle n N1 .

1). Damit kann man das Maximum und Minimum zweier reeller Zahlen definieren: x, falls x max(x, y) := y, y sonst, x, falls x min(x, y) := y, y sonst. 2) Transitivit¨at der Kleiner-Relation x < y und y < z =⇒ x 0 und z − y > 0. h. x < z. 3) Translations-Invarianz x −y Dies folgt aus y − x = (−x) − (−y). Diese Aussagen unterst¨utzen unsere anschauliche Vorstellung der reellen Zahlengeraden.

N besteht also genau aus den Zahlen, die sich aus der 0 durch sukzessive Additionen von 1 erhalten lassen. Wir definieren eine Abbildung (NachfolgerFunktion) ν : N −→ N , ν(x) := x + 1 . Um zu sehen, dass die Menge N aus den ‘richtigen’ nat¨urlichen Zahlen besteht, verifizieren wir die sog. Peano-Axiome. h. zwei verschiedene Elemente von N haben auch verschiedene Nachfolger. h. kein Element von N hat 0 als Nachfolger. 3) (Induktions-Axiom) Sei M ⊂ N eine Teilmenge mit folgenden Eigenschaften: i) 0 ∈ M, ii) x ∈ M ⇒ ν(x) ∈ M.

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